Oceńmy prawdziwość pierwszego zdania.

Przedstawiony ostrosłup na rysunku I to ostrosłup prawidłowy czworokątny, a jego podstawą jest kwadrat o boku $7\text{cm}$. Obliczmy pole podstawy tego ostrosłupa:

$P_{p1}=7\text{cm}\cdot 7\text{cm}=49{\text{cm}}^2$

Skoro dwie ściany boczne tego ostrosłupa leżące przy kącie prostym w podstawie również są trójkątami prostokątnymi i ich wspólna krawędź to przyprostokątna każdego z tych trójkątów, to wspólna krawędź tych ścian bocznych będzie prostopadła do podstawy, a to oznacza, że będzie wysokością tego ostrosłupa.

Zatem jego wysokość ma długość:

$H_1=6\text{cm}$

Obliczmy objętość tego ostrosłupa:

$V_1=\frac{1}{3}\cdot P_{p1}\cdot H_1=\frac{1}{3}\cdot 49\cdot 6=98\left[{\text{cm}}^3\right]$

Zatem pierwsze zdanie jest fałszywe.

---

Oceńmy prawdziwość drugiego zdania.

Przygotujmy rysunek pomocniczy:

Poprowadzone przekątne sześciokąta podzieliły go na sześć trójkątów równobocznych, zatem $h$ to wysokość jednego z tych trójkątów. Wobec tego:

$6=\frac{a\sqrt{3}}{2}|\cdot 2$

$12=a\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$a=\frac{12}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$

Obliczmy jego pole podstawy, korzystając z tego, że pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o tej samej długości boku co sześciokąt:

$P_{p2}=6\cdot \frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{{\cancel{16}}^4\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{4}}_1}=72\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]$

Aby obliczyć $H_2$, skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego zaznaczonego kolorem niebieskim. Mamy:

$6^2+H_2^2=10^2$

$36+H_2^2=100|-36$

$H_2^2=64|\sqrt{},H_2>0$

$H_2=8\left[\text{cm}\right]$

Obliczmy objętość tego ostrosłupa:

$V_2=\frac{1}{3}\cdot P_{p2}\cdot H_2=\frac{1}{3}\cdot 72\sqrt{3}\cdot 8=192\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^3\right]$

Zatem drugie zdanie jest prawdziwe.

---

Oceńmy prawdziwość trzeciego zdania.

Mamy, że:

$V_1=98{\text{cm}}^3<192{\text{cm}}^3<192\sqrt{3}{\text{cm}}^3=V_2$

Wobec tego:

$V_1<V_2$

Zatem trzecie zdanie jest fałszywe.

---

Odp. FPF