Do zamkniętego szklanego naczynia...- Zadanie 4: Matematyka z kluczem 8

Rozwiązanie

Naczynie ma kształt sześcianu z doklejonym ostrosłupem o wysokości równej krawędzi sześcianu.

Do tego naczynia wsypano piasek tak, że zapełniał on $\frac{2}{6}$ sześcianu, jak pokazano na rysunku poniżej:

Obliczmy, jaki poziom osiągnie piasek po obróceniu naczynia.

Niech $V_{s}$ oznacza objętość sześcianu, a $V_{o}$ oznacza objętość ostrosłupa.

Skoro obie figury mają wspólną podstawę oraz równe wysokości, to:

$V_{o} = \frac{1}{3} V_{g}$

a więc:

$3 V_{o} = V_{g}$

Zauważmy, że:

$\frac{2}{6} V_{g} = \frac{1}{3} V_{g} = \frac{1}{3} \cdot 3 V_{o} = V_{o}$

Zatem po obróceniu naczynia piasek zajmie całą objętość ostrosłupa.

Zaznaczmy to na rysunku:

Naczynie ma kształt sześcianu z doklejonym ostrosłupem o wysokości równej krawędzi sześcianu.

Do tego naczynia wsypano piasek tak, że zapełniał on cały sześcian, jak pokazano na rysunku poniżej:

Obliczmy, jaki poziom osiągnie piasek po obróceniu naczynia.

Niech $V_{s}$ oznacza objętość sześcianu, a $V_{o}$ oznacza objętość ostrosłupa.

Skoro obie figury mają wspólną podstawę oraz równe wysokości, to:

$V_{o} = \frac{1}{3} V_{g}$

a więc:

$3 V_{o} = V_{g}$

Zauważmy, że:

$V_{g} = 3 V_{o} = V_{o} + 2 V_{o}$

Zatem po obróceniu naczynia piasek zajmie całą objętość ostrosłupa i jeszcze taką część objętości sześcianu, która odpowiada $2$ objętościom ostrosłupa.

Obliczmy, jaką część sześcianu zajmie piasek:

$2 V_{o} = 2 \cdot \frac{1}{3} V_{g} = \frac{2}{3} V_{g} = \frac{4}{6} V_{g}$

Zaznaczmy to na rysunku:

Naczynie ma kształt sześcianu z doklejonym ostrosłupem o wysokości równej krawędzi sześcianu.

Do tego naczynia wsypano piasek tak, że zapełniał on $\frac{4}{6}$ sześcianu, jak pokazano na rysunku poniżej:

Obliczmy, jaki poziom osiągnie piasek po obróceniu naczynia.

Niech $V_{s}$ oznacza objętość sześcianu, a $V_{o}$ oznacza objętość ostrosłupa.

Skoro obie figury mają wspólną podstawę oraz równe wysokości, to:

$V_{o} = \frac{1}{3} V_{g}$

a więc:

$3 V_{o} = V_{g}$

Zauważmy, że:

$\frac{4}{6} V_{g} = \frac{4}{_{2} 6} \cdot 3^{1} V_{o} = \frac{4}{2} V_{o} = 2 V_{o} = V_{o} + V_{o}$

Zatem po obróceniu naczynia piasek zajmie całą objętość ostrosłupa i jeszcze taką część objętości sześcianu, która odpowiada jednej objętości ostrosłupa.

Obliczmy, jaką część sześcianu zajmie piasek:

$V_{o} = \frac{1}{3} V_{g} = \frac{2}{6} V_{g}$

Zaznaczmy to na rysunku:

Naczynie ma kształt sześcianu z doklejonym ostrosłupem o wysokości równej krawędzi sześcianu.

Do tego naczynia wsypano piasek tak, że zapełniał on $\frac{3}{6}$ sześcianu, jak pokazano na rysunku poniżej:

Obliczmy, jaki poziom osiągnie piasek po obróceniu naczynia.

Niech $V_{s}$ oznacza objętość sześcianu, a $V_{o}$ oznacza objętość ostrosłupa.

Skoro obie figury mają wspólną podstawę oraz równe wysokości, to:

$V_{o} = \frac{1}{3} V_{g}$

a więc:

$3 V_{o} = V_{g}$

Zauważmy, że:

$\frac{3}{6} V_{g} = \frac{3}{6} \cdot 3 V_{o} = \frac{3}{2} V_{o} = V_{o} + \frac{1}{2} V_{o}$

Zatem po obróceniu naczynia piasek zajmie całą objętość ostrosłupa i jeszcze taką część objętości sześcianu, która odpowiada $\frac{1}{2}$ objętości ostrosłupa.

Obliczmy, jaką część sześcianu zajmie piasek:

$\frac{1}{2} V_{o} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} V_{g} = \frac{1}{6} V_{g}$