a)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. Składa się on z sześciu trójkątów równobocznych, jak pokazano na rysunku poniżej:

Wobec tego po poprowadzeniu trzech najdłuższych przekątnych sześciokąta podstawa została podzielona na $6$ trójkątów równobocznych.

Zatem połowa dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego jest tej samej długości co bok tego sześciokąta.

Wiemy, że krawędź podstawy danego ostrosłupa ma długość $5\text{cm}$, natomiast jego krawędź boczna ma długość $13\text{cm}$.

Na rysunkach ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego oraz jego podstawy zamieszczonych w treści zadania, zaznaczmy jednym kolorem wszystkie odcinki długości $5\text{cm}$ oraz wszystkie odcinki długości $13\text{cm}$.

---

---

b)

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa. Podstawa tego ostrosłupa składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku długości $5\text{cm}$.

Przypomnijmy, że pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa:

$P_p=6\cdot \frac{5^2\sqrt{3}}{4}{=}^3\cancel{6}\cdot \frac{25\sqrt{3}}{{\cancel{4}}_2}=3\cdot \frac{25\sqrt{3}}{2}=3\cdot 12,5\sqrt{3}=37,5\sqrt{3}{[\text{cm}}^2]$

Zatem otrzymaliśmy:

$\underline{\underline{P_p=37,5\sqrt{3}{\text{cm}}^2}}$

---

c)

Wysokość ostrosłupa oznaczmy literą $H$. Zaznaczmy kolorem zielonym trójkąt prostokątny, którego jeden z boków jest wysokością ostrosłupa:

Naszkicujmy ten trójkąt:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczmy długość wysokości ostrosłupa:

$5^2+H^2=13^2$

$25+H^2=169|-25$

$H^2=144|\sqrt{},H>0$

$\underline{\underline{H=12\left[\text{cm}\right]}}$

---

d)

Obliczmy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{{}_1\cancel{3}}\cdot 37,5\sqrt{3}\cdot {\cancel{12}}^4=150\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^3\right]$

Zatem otrzymaliśmy:

$\underline{\underline{V=150\sqrt{3}{\text{cm}}^3}}$