Naszkicujmy romb opisany w treści zadania:

Obliczmy miarę kąta $ABC$. Suma miar dwóch katów leżących przy jednym boku rombu jest równa $180^{\circ }$, zatem:

$\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle ABC\right|=180^{\circ }$

$60^{\circ }+\left|\sphericalangle ABC\right|=180^{\circ }|-60^{\circ }$

$\left|\sphericalangle ABC\right|=120^{\circ }$

Przeciwległe katy równoległoboku mają równe miary, zatem:

$\left|\sphericalangle CDA\right|=120^{\circ }$

Przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów, zatem:

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\frac{1}{2}\left|\sphericalangle ABC\right|=\frac{1}{2}\cdot 120^{\circ }=60^{\circ }$

$\left|\sphericalangle CBD\right|=\frac{1}{2}\left|\sphericalangle ABC\right|=\frac{1}{2}\cdot 120^{\circ }=60^{\circ }$

$\left|\sphericalangle ADB\right|=\frac{1}{2}\left|\sphericalangle CDA\right|=\frac{1}{2}\cdot 120^{\circ }=60^{\circ }$

$\left|\sphericalangle CDB\right|=\frac{1}{2}\left|\sphericalangle CDA\right|=\frac{1}{2}\cdot 120^{\circ }=60^{\circ }$

---

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ADB\right|=\left|\sphericalangle BAD\right|=60^{\circ }$

Skoro miara każdego kąta trójkąta $ABD$ jest taka sama i wynosi $60^{\circ }$, to trójkąt $ABD$ jest trójkątem równobocznym.

Zauważmy następnie, że:

$\left|\sphericalangle CBD\right|=\left|\sphericalangle CDB\right|=\left|\sphericalangle BCD\right|=60^{\circ }$

Skoro miara każdego kąta trójkąta $BCD$ jest taka sama i wynosi $60^{\circ }$, to trójkąt $BCD$ jest trójkątem równobocznym.

---

Sprawdźmy prawdziwość podanych zdań.

Skoro trójkąty $ABD$ oraz $BCD$ są trójkątami równobocznymi, to pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Obliczmy pole tego rombu. Będzie to suma pół trójkątów $ABD$ oraz $BCD$.

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wyraża się wzorem:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Obliczmy pola tych trójkątów:

$P_{\Delta \text{ABD}}=\frac{4^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{{}^1\cancel{4}\cdot 4\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{4}}_1}=4\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$

$P_{\Delta \text{BCD}}=\frac{4^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{{}^1\cancel{4}\cdot 4\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{4}}_1}=4\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$

Zatem pole rombu jest równe:

$P=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$

Zatem drugie zdanie jest prawdziwe.

Uzupełnijmy tabelę:

"Krótsza przekątna.."	P	F
"Pole tego rombu..."	P	F