a)

Pierścień kołowy jest ograniczony dwoma okręgami: o promieniu $r_1=5\text{cm}$ oraz o promieniu $r_2=8\text{cm}$, jak pokazuje poniższy rysunek:

Promień wewnętrzny pierścienia to $r_1=5\text{cm}$. Obliczmy pole koła o takim promieniu:

$P_1=\pi r_1^2=\pi \cdot {\left(5\text{cm}\right)}^2=\pi \cdot 25{\text{cm}}^2=25\pi {\text{cm}}^2$

Promień zewnętrzny pierścienia to $r_2=8\text{cm}$. Obliczmy pole koła o takim promieniu:

$P_2=\pi r_2^2=\pi \cdot {\left(8\text{cm}\right)}^2=\pi \cdot 64{\text{cm}}^2=64\pi {\text{cm}}^2$

Obliczmy pole pierścienia kołowego:

$P=P_2-P_1=64\pi {\text{cm}}^2-25\pi {\text{cm}}^2=39\pi {\text{cm}}^2$

Zatem otrzymaliśmy, że pole tego pierścienia kołowego wynosi $39\pi {\text{cm}}^2$.

---

b)

Pierścień kołowy jest ograniczony dwoma okręgami: o promieniu $r_1=2\text{cm}$ oraz o średnicy $d_2=1\text{dm}=10\text{cm}$, czyli o promieniu $r_2=5\text{cm}$, jak pokazuje poniższy rysunek:

Promień wewnętrzny pierścienia to $r_1=2\text{cm}$. Obliczmy pole koła o takim promieniu:

$P_1=\pi r_1^2=\pi \cdot {\left(2\text{cm}\right)}^2=\pi \cdot 4{\text{cm}}^2=4\pi {\text{cm}}^2$

Promień zewnętrzny pierścienia to $r_2=5\text{cm}$. Obliczmy pole koła o takim promieniu:

$P_2=\pi r_2^2=\pi \cdot {\left(5\text{cm}\right)}^2=\pi \cdot 25{\text{cm}}^2=25\pi {\text{cm}}^2$

Obliczmy pole pierścienia kołowego:

$P=P_2-P_1=25\pi {\text{cm}}^2-4\pi {\text{cm}}^2=21\pi {\text{cm}}^2$

Zatem otrzymaliśmy, że pole tego pierścienia kołowego wynosi $21\pi {\text{cm}}^2$.

---

c)

Pierścień kołowy jest ograniczony dwoma okręgami.

Większy z nich to okrąg o średnicy $d_2=1,2\text{dm}=12\text{cm}$, czyli o promieniu $r_2=6\text{cm}$. Mniejszy z nich to okrąg o promieniu:

$r_1=6\text{cm}-15\text{mm}=6\text{cm}-1,5\text{cm}=4,5\text{cm}$

Pokazuje to poniższy rysunek:

Promień wewnętrzny pierścienia to $r_1=4,5\text{cm}$. Obliczmy pole koła o takim promieniu:

$P_1=\pi r_1^2=\pi \cdot {\left(4,5\text{cm}\right)}^2=\pi \cdot 20,25{\text{cm}}^2=20,25\pi {\text{cm}}^2$

Promień zewnętrzny pierścienia to $r_2=12\text{cm}$. Obliczmy pole koła o takim promieniu:

$P_2=\pi r_2^2=\pi \cdot {\left(6\text{cm}\right)}^2=\pi \cdot 36{\text{cm}}^2=36\pi {\text{cm}}^2$

Obliczmy pole pierścienia kołowego:

$P=P_2-P_1=36\pi {\text{cm}}^2-20,25\pi {\text{cm}}^2=15,75\pi {\text{cm}}^2$

Zatem otrzymaliśmy, że pole tego pierścienia kołowego wynosi $15,75\pi {\text{cm}}^2$.

---

d)

Pierścień kołowy jest ograniczony dwoma okręgami.

Większy z nich to okrąg o średnicy $d_2=3,4\text{dm}=34\text{cm}$, czyli o promieniu $r_2=17\text{cm}$. Mniejszy z nich z nich to okrąg o średnicy $d_1=26\text{cm}$, czyli o promieniu $r_1=13\text{cm}$. Pokazuje to poniższy rysunek:

Promień wewnętrzny pierścienia to $r_1=13\text{cm}$. Obliczmy pole koła o takim promieniu:

$P_1=\pi r_1^2=\pi \cdot {\left(13\text{cm}\right)}^2=\pi \cdot 169{\text{cm}}^2=169\pi {\text{cm}}^2$

Promień zewnętrzny pierścienia to $r_2=17\text{cm}$. Obliczmy pole koła o takim promieniu:

$P_2=\pi r_2^2=\pi \cdot {\left(17\text{cm}\right)}^2=\pi \cdot 289{\text{cm}}^2=289\pi {\text{cm}}^2$

Obliczmy pole pierścienia kołowego:

$P=P_2-P_1=289\pi {\text{cm}}^2-169\pi {\text{cm}}^2=120\pi {\text{cm}}^2$

Zatem otrzymaliśmy, że pole tego pierścienia kołowego wynosi $120\pi {\text{cm}}^2$.