a)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości $18$. Obliczmy pole podstawy ostrosłupa:

$P_p=18^2=324$

Na rysunku widzimy również jedną ze ścian bocznych - to trójkąt równoramienny, którego podstawa ma długość $18$, a ramię $41$. 

Wykonajmy pomocniczy rysunek ściany bocznej:

Wysokość w trójkącie równoramiennym opada na połowę podstawy. Obliczmy wysokość tego trójkąta korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2+9^2=41^2$

$h^2+81=1681|-81$

$h^2=1600|\sqrt{},h>0$

$h=40$

Obliczmy pole jednej ściany bocznej:

$P=\frac{1}{\cancel{2}}\cdot {\cancel{18}}^9\cdot 40=360$

Pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól czterech takich trójkątów, czyli:

$P_b=4\cdot 360=1440$

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b=324+1440=1764$

---

b)

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny, którego dłuższa przekątna ma długość $30$. 

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego o boku długości $a$ ma długość $2a$, więc w tym przypadku długość krawędzi podstawy jest równa:

$2a=30|:2$

$a=15$

Pole sześciokąta foremnego o boku długości $a$ to suma pól sześciu trójkątów równobocznych o boku długości $a$, czyli:

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}={\cancel{6}}^3\cdot \frac{15^2\sqrt{3}}{{\cancel{4}}_2}=3\cdot \frac{225\sqrt{3}}{2}=\frac{675\sqrt{3}}{2}$

Na rysunku widzimy również jedną ze ścian bocznych - to trójkąt równoramienny, którego podstawa ma długość $15$, a ramię $25$. 

Wykonajmy pomocniczy rysunek ściany bocznej:

Wysokość w trójkącie równoramiennym opada na połowę podstawy. Obliczmy wysokość tego trójkąta korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2+{\left(7\frac{1}{2}\right)}^2=25^2$

$h^2+{\left(\frac{15}{2}\right)}^2=625$

$h^2+\frac{225}{4}=625|-\frac{225}{4}$

$h^2=\frac{625\cdot 4}{4}-\frac{225}{4}$

$h^2=\frac{2500-225}{4}$

$h^2=\frac{2275}{4}|\sqrt{},h>0$

$h=\sqrt{\frac{2275}{4}}=\frac{\sqrt{2275}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{25\cdot 91}}{2}=\frac{5\sqrt{91}}{2}$

Obliczmy pole jednej ściany bocznej:

$P=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot \frac{5\sqrt{91}}{2}=\frac{75\sqrt{91}}{4}$

Pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól sześciu takich trójkątów, czyli:

$P_b={\cancel{6}}^3\cdot \frac{75\sqrt{91}}{{\cancel{4}}_2}=\frac{225\sqrt{91}}{2}$

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b=\frac{675\sqrt{3}}{2}+\frac{225\sqrt{91}}{2}=\frac{675\sqrt{3}+225\sqrt{91}}{2}$