Zapiszmy, że zachodzą równości

$V=12\sqrt{3}\text{i}{P}_b=36$

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=12\sqrt{3}\text{i}3\cdot a\cdot H=36$

Z drugiej równości mamy

$H=\frac{12}{a}$

Wstawmy to do pierwszej równości

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{12}{a}=12\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$\frac{a}{4}\cdot 12=12$

$\underline{a=4}$

Stąd

$\underline{H=3}$

---

Naszkicujmy ten graniastosłup i zaznaczmy odpowiedni kąt.

Obliczmy długość przekątnej rozważając trójkąt prostokątny w ścianie bocznej.

Z twierdzenia Pitagorasa w tym trójkącie zachodzi

$d^2=3^2+4^2$

$d^2=9+16$

$d^2=25,d>0$

$d=5$

Rozważmy trójkąt zawierający interesujący nas kąt. Jest on prostokątny.

Zauważmy, że jeden z boków to wysokość podstawy, czyli wysokość trójkąta równobocznego.

$h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

Zatem w tym trójkącie mamy

$\sin \alpha =\frac{h_p}{d}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$