Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku 

---

Zauważmy, że czworokąt $OCBD$ jest kwadratem o boku długości $R$, zatem długość odcinka $OB$ jest równa długości przekątnej tego kwadratu, czyli

$\left|OB\right|=R\sqrt{2}$

Podobnie czworokąt $OEAF$ jest kwadratem o boku długości$r$ , zatem długość odcinka $OA$ jest równa długości przekątnej tego kwadratu, czyli 

$\left|OA\right|=r\sqrt{2}$

---

Zatem otrzymujemy 

$\left|OB\right|=\left|OA\right|+\left|AP\right|+\left|PB\right|$

$R\sqrt{2}=r\sqrt{2}+r+R$

$R\sqrt{2}-R=r\sqrt{2}+r$

$R\left(\sqrt{2}-1\right)=r\left(\sqrt{2}+1\right)|:(\sqrt{2}-1)$

$R=\frac{r\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}-1}|:r$

$\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

Pozbędziemy się niewymierności.

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\frac{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}=\frac{2+2\sqrt{2}+1}{{\sqrt{2}}^2-1^2}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2-1}=3+2\sqrt{2}$

Stąd, istotnie

$\frac{R}{r}=3+2\sqrt{2}$

co należało udowodnić.