Ciąg

$a,b,c$

jest ciągiem arytmetycznym, stąd zachodzi własność

$b=\frac{a+c}{2}$

$2b=a+c$

oraz z treści zadania zachodzi

$a+b+c=27$

Zatem, łącząc te dwa równania otrzymujemy 

$2b+b=27$

$3b=27|:3$

$\underline{b=9}$

A zatem

$a+c=18$ 

$\underline{a=18-c}$

Po modyfikacji ciąg

$a-2,b,2c+1$

jest geometryczny i zachodzi

$b^2=\left(a-2\right)\left(2c+1\right)$

Wstawmy obliczone wielkości $b$ oraz $a$.

$9^2=\left(18-c-2\right)\left(2c+1\right)$

$81=\left(16-c\right)\left(2c+1\right)$

$81=32c-2c^2+16-c$

$81=-2c^2+31c+16$

$2c^2-31+65=0$

Obliczmy

${\Delta }_c={\left(-31\right)}^2-4\cdot 2\cdot 54=961-520=441,\sqrt{{\Delta }_c}=21$

$c=\frac{31-21}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\text{lub}c=\frac{31+21}{4}=\frac{52}{4}=13$

Zatem otrzymujemy

$a=18-\frac{5}{2}=\frac{31}{2}\text{lub}a=18-13=5$

Otrzymaliśmy ciąg

$\left(\frac{31}{2},9,\frac{31}{2}\right)$

lub

$\left(5,9,13\right)$