Ustalamy dziedzinę równania. Ze względu na istnienie funkcji tangens otrzymujemy, że 

$\cos x\ne 0$

$\underline{x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$

Rozwiązujemy  równanie.

$6\sin x+2\sqrt{3}\cos x+3\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0$

$6\sin x+2\sqrt{3}\cos x+3\cdot \frac{\sin x}{\cos x}+\sqrt{3}=0|\cdot \cos x\ne 0$

Grupujemy wyrazy.

$6\sin x\cos x+2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+3\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$

$3\sin x\cdot \left(2\cos x+1\right)+\sqrt{3}\cos x\left(2\cos x+1\right)=0$

$\left(2\cos x+1\right)\left(3\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)=0$

$1.2\cos x+1=0\text{lub}2.3\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$

---

Wyznaczamy rozwiązania równania $1$.

$2\cos x+1=0$

$\cos x=-\frac{1}{2}$

Rysujemy wykres funkcji $y=\cos x$  i odczytujemy z niego rozwiązania.

Zatem

$x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \text{lub}x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

---

Wyznaczamy rozwiązania równania $2$.

$3\sin x+\sqrt{3}\cos x=0|:\cos x\ne 0$

$3\cdot \frac{\sin x}{\cos x}+\sqrt{3}=0$

A to oznacza

$3\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0|-\sqrt{3}$

$3\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}|:3$

$\mathrm{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Zauważmy, że z nieparzystości funkcji tangens mamy

$\mathrm{tg}\left(-x\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Czyli

$-x_0=\frac{\pi }{6}$

$x_0=-\frac{\pi }{6}$ 

Zatem

$x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

---

Sprawdzamy, czy rozwiązania należą do dziedziny. Zatem ostatecznie otrzymujemy, że rozwiązaniami są

$\underline{x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi }\text{lub}\underline{x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi }\text{lub}\underline{x=-\frac{\pi }{6}+k\pi },k\in \mathbb{Z}$