a) 

Zauważmy, że do wykresu funkcji należy punkt $\left(2,3\right)$, stąd

$3=a^2$

Stąd skoro $a>0$, to

$\underline{a=\sqrt{3}}$

---

b)

Naszkicujmy wykres funkcji 

$g\left(x\right)=\left|f\left(x\right)-2\right|=\left|{\sqrt{3}}^x-2\right|$

etapami. Mamy naszkicowany wykres $y={\sqrt{3}}^x$. Naszkicujmy wykres $y={\sqrt{3}}^x-2$.

Naszkicujmy wykres $y=g\left(x\right)=\left|{\sqrt{3}}^x-2\right|$.

Z wykresu możemy odczytać, że dla $m=0$ oraz $m\in ⟨2,+\infty )$ mamy jedno rozwiązanie podanego równania.