Sporządzamy rysunek pomocniczy do zadania i przyjmujemy oznaczenia zgodnie z rysunkiem.

Rysunek:

Mamy obliczyć iloczyn sinusów kątów ostrych trójkąta $ABC.$Korzystamy z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym $ABC$ i otrzymujemy, że

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$ oraz $\sin \beta =\frac{b}{c}$

Zatem

$\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{a}{c}\cdot \frac{b}{c}=\frac{ab}{c^2}$

---

Z treści zadania wiemy, że pole trójkąta $ABC$ jest pięć razy mniejsze od pola trójkąta $ABM.$ Zapiszmy pola tych trójkątów za pomocą oznaczeń, które przyjęliśmy na rysunku.

$P_{△\text{ABC}}=\frac{1}{2}ab$

Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymujemy pole trójkąta $ABM.$

$P_{△\text{ABM}}=\frac{c^2\sqrt{3}}{4}$

Z zależności między polami dwóch rozważanych trójkątów mamy, że

$P_{△\text{ABM}}=5P_{△\text{ABC}}$

$\frac{c^2\sqrt{3}}{4}=5\cdot \frac{1}{2}ab|\cdot 2$

$\frac{c^2\sqrt{3}}{2}=5ab|:5$

Czyli

$ab=\frac{\sqrt{3}{c}^2}{10}$

Wstawiamy powyższy wynik do wzoru na iloczyn sinusów kątów $\alpha$ i $\beta .$

$\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{ab}{c^2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{10}\cancel{c^2}}{\cancel{c^2}}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{3}}{10}}}$

---

Odp. Iloczyn sinusów kątów ostrych trójkąta $ABC$ wynosi $\frac{\sqrt{3}}{10}.$