Twierdzenie o odcinkach stycznych
Jeżeli z punktu $P$ poprowadzimy do okręgu dwie styczne, to odległość punktu $P$ od obu punktów styczności jest taka sama, tzn. $\left|AP\right|=\left|BP\right|$

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy i przyjmujemy takie oznaczenia jak na rysunku.

Rysunek:

Punkty styczności okręgu z bokami trójkąta dzielą te boki na dwa odcinki. Z twierdzenia o odcinkach stycznych mamy, że

$\left|AE\right|=\left|AF\right|$

$\left|CF\right|=\left|CD\right|$

Ponadto czworokąt $EBDS$ jest kwadratem, więc

$\left|EB\right|=\left|DB\right|=1$

---

Aby wyznaczyć długości boków trójkąta, obliczymy $x$ i $y.$ Z treści zadania wiemy, że $\left|AS\right|=\sqrt{10}.$ Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $AES$i otrzymujemy

$x^2+1^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2$

$x^2+1=10|-1$

$x^2=9|\sqrt{},x>0$

$x=\sqrt{9}=3$

---

Długość $y$ wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym$SDC.$Z treści zadania wiemy, że $\left|CS\right|=\sqrt{5}.$

${y^2+1^2=\left(\sqrt{5}\right)}^2$

$y^2+1=5|-1$

$y^2=4|\sqrt{},y>0$

$y=\sqrt{4}=2$

---

Boki trójkąta $ABC$mają długości

$\left|AB\right|=x+1=3+1=\underline{\underline{4}}$

$\left|BC\right|=y+1=2+1=\underline{\underline{3}}$

$\left|AC\right|=x+y=3+2=\underline{\underline{5}}$