Wprowadźmy oznaczenia:

• $a$ - długość boku trójkąta równobocznego 
• $h$ - wysokość trójkąta równobocznego 
• $r$ - promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny 

Wiemy, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy $R.$

Wiadomo, że promień okręgu opisanego ma długość równą $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta, a promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość równą $\frac{1}{3}$ długości wysokości trójkąta. Stąd wynika, że

$\frac{2}{3}h=R|:2$

$\frac{1}{3}h=\frac{1}{2}R$

$r=\frac{1}{3}h=\underline{\underline{\frac{1}{2}}}R$

Wobec tego promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość $\frac{1}{2}R.$

---

Wyznaczmy pole tego trójkąta w zależności od $R.$

Wiemy, że

$R=\frac{2}{3}h$

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego: $h=\frac{a^{}\sqrt{3}}{2}$ otrzymujemy, że

$R=\frac{{}^1\cancel{2}}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Wyznaczmy $a$ z powyższego wzoru.

$\frac{a\sqrt{3}}{3}=R|\cdot 3$

$a\sqrt{3}=3R|:\sqrt{3}$

$a=\frac{3R}{\sqrt{3}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka i otrzymujemy:

$a=\frac{3R}{\sqrt{3}}=\frac{3R}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}R}{3}=\sqrt{3}R$

Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego dostajemy.

$P_{△}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(\sqrt{3}R\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\underline{\underline{\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{4}}}$