Suma ciągu geometrycznego Suma $n$ pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, o wyrazie ogólnym $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, zadana jest wzorem: $S_n=\{\begin{array}{l}n\cdot a_1,\text{gdy}q=1\\ a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q},\text{gdy}q\ne 1\end{array}$

---

a)

Dana jest suma:

$1+2+4+\dots +512+1024$

Wiemy, że kolejne wyrazy tej sumy są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Obliczmy iloraz tego ciągu:

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2$

Zauważmy, że:

$1024=1\cdot 2^9$

Zatem podana suma będzie sumą dziesięciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym:

$a_1=1$ oraz $q=2$

Zatem, korzystając ze wzoru z tabeli, mamy:

$1+2+4+\dots +512+1024=1\cdot \frac{1-2^{10}}{1-2}=\frac{1-2048}{-1}=\frac{2047}{1}=2047$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{1+2+4+\dots +512+1024=2047}}$

---

b)

Dana jest suma:

$\frac{81}{32}-\frac{27}{16}+\frac{9}{8}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$

Wiemy, że kolejne wyrazy tej sumy są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Obliczmy iloraz tego ciągu:

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-\frac{27}{16}}{\frac{81}{32}}=-\frac{27}{16}\cdot \frac{32}{81}=-\frac{27}{81}\cdot \frac{32}{16}=-\frac{2}{3}$

Zatem podana suma będzie sumą pięciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym:

$a_1=\frac{81}{32}$ oraz $q=-\frac{2}{3}$

Zatem, korzystając ze wzoru z tabeli, mamy:

$\frac{81}{32}-\frac{27}{16}+\frac{9}{8}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{81}{32}\cdot \frac{1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^5}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{81}{32}\cdot \frac{1+\frac{32}{243}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{81}{32}\cdot \frac{\frac{243+32}{243}}{\frac{3+2}{3}}=$

$=\frac{{}^1\cancel{81}}{32}\cdot \frac{{\cancel{275}}^{55}}{\cancel{{243}_3}}\cdot \frac{3}{{\cancel{5}}_1}=\frac{55\cdot 3}{32\cdot 3}=\frac{55}{32}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{\frac{81}{32}-\frac{27}{16}+\frac{9}{8}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{55}{32}}}$