Oblicz...- Zadanie 8.3: Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Rozwiązanie

Działania na logarytmach

Dane są dwie liczby $lo g_{a} b$ oraz $lo g_{a} d$ , gdzie $b > 0$ , $d > 0$ , $a > 0$ oraz $a \neq = 1$ .

Zachodzą wzory:

(1) $lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b \cdot c)$

(2) $lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c}$

(3) $a^{l o g_{a} b} = b$

(4) $n lo g_{a} b = lo g_{a} b^{n}$

Obliczmy:

$lo g 2 + lo g 50$

Korzystając ze wzoru (1) na sumę logarytmów o tej samej podstawie, mamy:

$lo g 2 + lo g 50 = lo g 100 = lo g 1 0^{2} = 2$

Zatem:

$\underline{\underline{lo g 2 + lo g 50 = 2}}$

Obliczmy:

$lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2$

Korzystając ze wzoru (2) na różnicę logarytmów o tej samej podstawie, mamy:

$lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} \frac{18}{2} = lo g_{3} 9 = lo g_{3} 3^{2} = 2$

Zatem:

$\underline{\underline{lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2 = 2}}$

Obliczmy:

$2^{l o g_{2} 5}$

Korzystając ze wzoru (3), mamy:

$2^{l o g_{2} 5} = 5$

Zatem:

$\underline{\underline{2^{l o g_{2} 5} = 5}}$

Obliczmy:

$2 7^{l o g_{3} 2}$

Korzystając ze wzorów (3) oraz (4), mamy:

$2 7^{l o g_{3} 2} = (3^{3})^{l o g_{3} 2} = 3^{3 l o g 2} (4) = 3^{l o g_{3} 2^{3}} = 3^{l o g_{3} 8} (3) = 8$

Zatem:

$\underline{\underline{2 7^{l o g_{3} 2} = 8}}$

Obliczmy:

$\frac{lo g 125}{lo g 5}$

Korzystając ze wzoru (4), mamy:

$\frac{lo g 125}{lo g 5} = \frac{lo g 5 ^{3}}{lo g 5} (4) = \frac{3 lo g 5}{lo g 5} = 3$

Zatem:

$\underline{\underline{\frac{lo g 125}{lo g 5} = 3}}$

Obliczmy:

$lo g_{14} 49 + lo g_{14} 2$

Korzystając ze wzorów (1) oraz (4), mamy:

$lo g_{14} 49 + 2 lo g_{14} 2 (4) = lo g_{14} 49 + lo g_{14} 2^{2} = lo g_{14} 49 + lo g_{14} 4 (1) = lo g_{14} (49 \cdot 4) =$

$= lo g_{14} (7^{2} \cdot 2^{2}) = lo g_{14} (1 4^{2}) = 2$

Zatem:

$\underline{\underline{lo g_{14} 49 + lo g_{14} 2 = 2}}$

Obliczmy:

$lo g_{25} 125$

Korzystając ze wzoru (3), mamy:

$lo g_{25} 125 = lo g_{25} 5^{3} (3) = 3 lo g_{25} 5 = 3 lo g_{25} 2 5^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Zatem:

$\underline{\underline{lo g_{25} 125 = \frac{3}{2}}}$

Obliczmy:

$lo g_{8} 0, 25$

Korzystając ze wzoru (4), mamy:

$lo g_{8} 0, 25 = lo g_{8} \frac{1}{4} = lo g_{8} (\frac{1}{2})^{2} (4) = 2 lo g_{8} \frac{1}{2} = 2 lo g_{8} 8^{- \frac{1}{3}} = 2 \cdot (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3}$

Zatem:

$\underline{\underline{lo g_{8} 0, 25 = - \frac{2}{3}}}$

Katarzyna Nowocień

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Własności logarytmów

Premium

13:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Określenie logarytmu

Premium

13:14

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Funkcja logarytmiczna

Premium

9:46

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.