Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=\left|2^x-4\right|+1$

Wykres funkcji $f$ naszkicujemy w czterech krokach.

KROK 1

Naszkicujmy wykres funkcji $g\left(x\right)=2^x$.

W tym celu wyznaczmy kilka punktów leżących na tym wykresie:

$g\left(0\right)=2^0=1$

$g\left(1\right)=2^1=2$

$g\left(-1\right)=2^{-1}=\frac{1}{2}$

$g\left(2\right)=2^2=4$

Naszkicujmy wykres funkcji $g$.

KROK 2

Przesuńmy wykres funkcji $g$ o cztery jednostki w dół, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $y=2^x-4$.

KROK 3

Odbijmy względem osi $OX$ te punkty powstałego wykresu, które znajdują się pod osią, natomiast zostawmy bez zmian te punkty wykresu, które znajdują się nad osią. Dzięki temu dostaniemy wykres funkcji $y-\left|2^x-4\right|$.

KROK 4

Przesuńmy wykres powstałej funkcji o jedną jednostkę w górę, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $f$.

---

Dane jest równanie:

$f\left(x\right)=k^2$

Rozważmy równanie:

$f\left(x\right)=m$, dla $m=k^2$

Zbadajmy liczbę pierwiastków równania $f\left(x\right)=m$ w oparciu o interpretację graficzną równania.

Naszkicujmy wykres funkcji $f$. Ponadto, zaznaczmy na rysunku kilka prostych  $y=m$ dla pewnych $m\in \mathbb{R}$.

Rozwiązaniem równania $f\left(x\right)=m$ będą takie $x$, dla których wykres i prosta mają punkt wspólny.

Analizując położenie prostych oraz położenie ich punktów wspólnych z wykresem zauważamy, że równanie $f\left(x\right)=m$:

• nie ma rozwiązań dla $m\in \left(-\infty ;1\right)$ 
• ma jedno rozwiązanie dla $m\in \left\{1\right\}\cup \left[5;+\infty \right)$
• ma dwa rozwiązania dla $m\in \left(1;5\right)$

---

Skoro $m=k^2$, to sprawdźmy ilość rozwiązań równania $f\left(x\right)=k^2$.

• Równanie $f\left(x\right)=k^2$ nie ma rozwiązań, gdy:

$k^2\in \left(-\infty ;1\right)$

$k^2<1|-1$

$k^2-1<0$

$\left(k-1\right)\left(k+1\right)<0$

W celu rozwiązania nierówności, rozwiążmy równanie pomocnicze:

$\left(k-1\right)\left(k+1\right)=0$

$k-1=0\vee k+1=0$

$k=1\vee k=-1$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=\left(k-1\right)\left(k+1\right)$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $k$, dla których wartości funkcji są ujemne, czyli wykres funkcji leży pod osią.

Zatem równanie $f\left(x\right)=k^2$ nie ma rozwiązań, gdy:

$k\in \left(-1;1\right)$

• Równanie $f\left(x\right)=k^2$ ma jedno rozwiązanie, gdy:

$k^2\in \left\{1\right\}\cup \left[5;+\infty \right)$

$k^2=1\vee k^2>5$

$k=1\vee k=-1\vee k^2-5>0$

$\left(k-\sqrt{5}\right)\left(k+\sqrt{5}\right)>0$

W celu rozwiązania nierówności rozwiążmy równanie pomocnicze:

$\left(k-\sqrt{5}\right)\left(k+\sqrt{5}\right)=0$

$k-\sqrt{5}=0\vee k+\sqrt{5}=0$

$k=\sqrt{5}\vee k=-\sqrt{5}$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=\left(k-\sqrt{5}\right)\left(k+\sqrt{5}\right)$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $k$, dla których wartości funkcji są dodatnie, czyli wykres funkcji leży nad osią.

Zatem:

$k\in \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right)\cup \left(\sqrt{5};+\infty \right)$

Zatem równanie $f\left(x\right)=k^2$ ma jedno rozwiązanie, gdy:

$k\in \left\{-1,1\right\}\cup \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right)\cup \left(\sqrt{5};+\infty \right)$

• Równanie $f\left(x\right)=k^2$ ma dwa rozwiązanie, gdy:

$k^2\in \left(1;5\right)$

$1<k^2<5$

Rozwiążmy pierwszą z nierówności:

$1<k^2$

$k^2>1|-1$

$k^2-1>0$

$\left(k-1\right)\left(k+1\right)>0$

Rozwiążmy równanie pomocnicze:

$k-1=0\vee k+1=0$

$k=1\vee k=-1$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=\left(k-1\right)\left(k+1\right)$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $k$, dla których wartości funkcji są dodatnie, czyli wykres funkcji leży nad osią.

Zatem:

$k\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

Rozwiążmy drugą z nierówności:

$k^2<5|-5$

$k^2-5<0$

W celu rozwiązania nierówności rozwiążmy równanie pomocnicze:

$\left(k-\sqrt{5}\right)\left(k+\sqrt{5}\right)=0$

$k-\sqrt{5}=0\vee k+\sqrt{5}=0$

$k=\sqrt{5}\vee k=-\sqrt{5}$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=\left(k-\sqrt{5}\right)\left(k+\sqrt{5}\right)$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $k$, dla których wartości funkcji są ujemne, czyli wykres funkcji leży pod osią.

Zatem:

$k\in \left(-\sqrt{5};\sqrt{5}\right)$

Biorąc pod uwagę obie nierówności, mamy:

$k\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$  oraz $k\in \left(-\sqrt{5};\sqrt{5}\right)$

Zaznaczmy na różowo pierwszy z przedziałów oraz na pomarańczowo drugi z przedziałów. Mamy:

Zatem równanie $f\left(x\right)=k^2$ ma dwa rozwiązania, gdy:

$k\in \left(-\sqrt{5};-1\right)\cup \left(1;+\sqrt{5}\right)$

---

Ostatecznie otrzymujemy, że równanie $f\left(x\right)=k^2$:

• nie ma rozwiązań, gdy $k\in \left(-1;1\right)$
• ma jedno rozwiązanie, gdy $k\in \left\{-1,1\right\}\cup \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right)\cup \left(\sqrt{5};+\infty \right)$
• ma dwa rozwiązania, gdy $k\in \left(-\sqrt{5};-1\right)\cup \left(1;+\sqrt{5}\right)$