Wiemy, że:

$\left(2x^3-2x^2-5x+2\right):\left(x-2\right)=T\left(x\right)$

Znajdźmy trójmian $T\left(x\right)$. W tym celu wykonajmy dzielenie pisemne:

$\begin{array}{l}2x^2+2x-1\\ \overline{\left(2x^3-2x^2-5x+2\right)}:\left(x-2\right)\\ \underline{-2x^3+4x^2}\\ 2x^2-5x+2\\ \underline{-2x^2+4x}\\ -x-2\\ \underline{+x+2}\\ 0\end{array}$

Zatem:

$T\left(x\right)=2x^2+2x-1$

Rozłóżmy ten trójmian na czynniki.  W tym celu znajdźmy jego miejsca zerowe:

$T\left(x\right)=0$

$2x^2+2x-1=0$

$\Delta =2^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=4+8=12$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$

$x_1=\frac{-2-2\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{2\left(-1-\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$

$x_2=\frac{-2+2\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{2\left(-1+\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$

Zatem:

$T\left(x\right)=2\left(x-\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)\right)=2\left(x+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)=$

$=\left(2x+1+\sqrt{3}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{T\left(x\right)=\left(2x+1+\sqrt{3}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)}}$