Dana jest funkcja $f$ z parametrem $m$:

$f(x)=\{\begin{array}{l}(m-1)x+m\text{dla}x<1\\ x^2+(m-2)x+4-2m\text{dla}x⩽1\end{array}$

Wyznaczmy takie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ przyjmuje tylko wartości dodatnie.

---

Rozważmy funkcje $g\left(x\right)=\left(m-1\right)x+m$  dla $x\in \left(-\infty ;1\right)$.

Chcemy, aby przyjmowała ona tylko wartości dodatnie. Naszkicujmy poglądowy rysunek takiej sytuacji.

Widzimy, że funkcja musi być malejąca lub stała oraz jej wartość w $1$ musi być nieujemna. Zatem:

$\{\begin{array}{l}m-1⩽0|+1\\ g(1)⩾0\end{array}$ 

$\{\begin{array}{l}m⩽1\\ m-1+m⩾0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m⩽1\\ 2m-1⩾0|+1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m⩽1\\ 2m⩾1|:2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}m⩽1\\ m⩾\frac{1}{2}\end{array}$

Wobec tego mamy, że:

$m\in \left[\frac{1}{2};1\right]$

---

Rozważmy funkcje $h\left(x\right)=x^2+\left(m-2\right)x+4-2m$  dla  $x\in \left[1;+\infty \right)$.

Obliczmy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $h$.

$p=-\frac{m-2}{2}=\frac{-m+2}{2}=\frac{2-m}{2}$

Zauważmy, że dla $m\in \left[\frac{1}{2};1\right]$ mamy:

$\frac{2-m}{2}⩽\frac{2-\frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{4}$

$\frac{2-m}{2}⩾\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$

Wobec tego $p\in \left[\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right]$. Zauważmy dodatkowo, że ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji $h$ są skierowane ku górze.

Naszkicujmy poglądowy rysunek takiej sytuacji.

Wobec tego widzimy, że jeśli $m\in \left[\frac{1}{2};1\right]$, to dodatkowo musi zachodzić warunek:

$h\left(1\right)>0$

$1^2+m-2+4-2m>0$

$3-m>0|+m$

$3>m$

$m<3$

$m\in \left(-\infty ;3\right)$

---

Zatem mamy, że:

$m\in \left[\frac{1}{2};1\right]$  oraz  $m\in \left(-\infty ;3\right)$

Zaznaczmy na osi na różowo pierwszy z przedziałów, natomiast na pomarańczowo drugi z przedziałów.

Interesuje nas część wspólna zaznaczonych przedziałów. 

Zatem funkcja $f$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, gdy:

$m\in \left[\frac{1}{2};1\right]$