Dane są funkcje:

$f\left(x\right)=x^2-6x+9$   oraz   $g\left(x\right)=x+7$

---

---

a)

Znajdźmy te argumenty, dla których:

$f\left(x\right)=5\cdot g\left(x\right)$

$x^2-6x+9=5\left(x+7\right)$

$x^2-6x+9=5x+35|-5x-35$

$x^2-11x-26=0$

$\Delta ={\left(-11\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-26\right)=121+104=225$

$\sqrt{\Delta }=15$

$x_1=\frac{11-15}{2}=-\frac{4}{2}=-2$

$x_2=\frac{11+15}{2}=\frac{26}{2}=13$

Zatem wartość funkcji $f$ jest pięć razy większa od wartości funkcji $g$, gdy:

$x=-2$  lub  $x=13$

---

---

b)

Znajdźmy te argumenty, dla których wartości obu funkcji są dodatnie.

• Wartości funkcji $f$ są dodatnie, gdy:

$x^2-6x+9>0$

W celu rozwiązania nierówności rozwiążmy równanie pomocnicze:

$x^2-6x+9=0$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$

$x_1=\frac{6}{2}=3$

Narysujemy przybliżony wykres funkcji $f$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $x$, dla których wartości funkcji są dodatnie, czyli wykres leży nad osią $OX$.Zatem wartości funkcji $f$ są dodatnie, gdy:

$x\in \left(-\infty ;3\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

• Wartości funkcji $g$ są dodatnie, gdy:

$x+7>0|-7$

$x>-7$

$x\in \left(-7;+\infty \right)$

Wobec tego mamy, że:

$x\in \left(-\infty ;3\right)\cup \left(3;+\infty \right)$  oraz  $x\in \left(-7;+\infty \right)$

Zaznaczmy na osi na różowo pierwszy z przedziałów, natomiast na pomarańczowo drugi z przedziałów.

Interesuje nas część wspólna zaznaczonych przedziałów.

Zatem wartości obu funkcji są dodatnie, gdy:

$\underline{\underline{x\in \left(-7;+\infty \right)\setminus \left\{3\right\}}}$

---

---

c)

Uzasadnijmy, że wartość funkcji $f$ dla każdego argumentu całkowitego $m$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Zauważmy, że korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, czyli $a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$, otrzymujemy:

$f\left(m\right)=m^2-6m+9=m^2-2\cdot m\cdot 3+3^2={\left(m-3\right)}^2$

Wobec tego dla każdego argumentu całkowitego, wartość funkcji $f$ jest kwadratem liczby całkowitej, co należało uzasadnić.

---

Dla $m=123456$, mamy:

$f\left(m\right)=f\left(123456\right)={\left(123456-3\right)}^2=123453^2$

Zatem $f\left(m\right)$, dla $m=123456$, jest kwadratem liczby $123453$.