Niech $a$, $b$, $c$ będą liczbami rzeczywistymi. 

Rozważmy nierówność:

$a^2+b^2+c^2⩾ab+ac+bc|\cdot 2$

$2a^2+2b^2+2c^2⩾2ab+2ac+2bc|-2ab-2ac-2bc$

$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc⩾0$

$a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc⩾0$

$a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2⩾0$

Korzystając trzykrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymujemy:

$(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(b-c{)}^2⩾0$

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem również suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna. Wobec tego rozważana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb $a$, $b$, $c$, co należało wykazac.