Dane są liczby $a$, $b$ oraz $c$ takie, że:

$a^2$, $b^2$, $c^2$

tworzą ciąg arytmetyczny, który nie jest stały, czyli:

$a\ne \pm b$  oraz  $a\ne \pm c$  oraz  $b\ne \pm c$

Zatem:

$b^2-a^2=c^2-b^2$

$\left(b-a\right)\left(b+a\right)=\left(c-b\right)\left(c+b\right)|:\left(b+a\right)\text{Uwaga:}b+a\ne 0,\text{bo}b\ne -a$

$b-a=\frac{\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{a+b}$

Rozważmy liczby:

$x=\frac{1}{b+c}$, $y=\frac{1}{a+c}$, $z=\frac{1}{a+b}$

Rozważmy różnice liczb $y$ i $x$. Mamy:

$y-x=\frac{1}{a+c}-\frac{1}{b+c}=\frac{b+c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}-\frac{a+c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{b+c-a-c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=$

$=\frac{b-a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{\frac{\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{a+b}}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{\left(c-b\right)\cancel{\left(c+b\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\cancel{\left(b+c\right)}}=\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=$

$=\frac{a+c-b-a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\frac{a+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}-\frac{a+b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c}=z-y$

Zatem:

$y-x=z-y$

a więc ciąg liczb $\left(x,y,z\right)$ jest ciągiem arytmetycznym.