Dany jest ciąg $\left(a_n\right)$ o wyrazie ogólnym równym:

$a_n=n^3-39n^2+504n-150$

Obliczmy dwunasty wyraz tego ciągu. Mamy:

$a_{12}=12^3-39\cdot 12^2+504\cdot 12-150=1728-5616+6048-150=2010$

Sprawdźmy, dla jakiego $n$ zachodzi:

$a_n=a_{12}$

$n^3-39n^2+504n-150=2010|-2010$

$n^3-39n^2+504n-2160=0$

$n^3-12n^2-27n^2+324n+180n-2160=0$

$n^2\left(n-12\right)-27n\left(n-12\right)+180\left(n-12\right)=0$

$\left(n-12\right)\left(n^2-27n+180\right)=0$

$n-12=0\vee n^2-27n+180=0$

$\Delta ={\left(-27\right)}^2-4\cdot 1\cdot 180=729-720=9$

$\sqrt{\Delta }=3$

$n_1=\frac{27-3}{2}=\frac{24}{2}=12$

$n_2=\frac{27+3}{2}=\frac{30}{2}=15$

Zatem:

$n=12\vee n=15$

Wobec tego wyraz ciągu, który jest równy wyrazowi dwunastemu, to:

$\underline{\underline{a_{15}}}$