DŁUGOŚĆ WEKTORA Jeżeli wektor $\vec{u}$ ma współrzędne $\left[u_1,u_2\right],$  to długość wektora $\left|\vec{u}\right|$ wyraża się przy pomocy wzoru: $\left|\vec{u}\right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ SUMA WEKTORÓW Sumą wektorów $\vec{u}=\left[a,b\right]$ oraz $\vec{v}=\left[c,d\right]$ jest wektor o współrzędnych: $\vec{u}+\vec{v}=\left[a+c,b+d\right]$ TWIERDZENIE COSINUSÓW Dany jest trójkąt o bokach długości $a,b$ oraz $c.$ Niech kąt $\alpha$ będzie kątem tego trójkąta leżącym naprzeciwko boku o długości $a.$ Dla tego trójkąta zachodzi związek: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

---

Rysunek:

Wiemy, że $\overrightarrow{AC}=\left[20,10\right].$ Wtedy

$\overrightarrow{AS}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\cdot \left[20,10\right]=\left[10,5\right]$

Wyznaczmy długość odcinka $AS,$ która jest równa długości wektora $\overrightarrow{AS}.$ Mamy:

$\left|AS\right|=\left|\overrightarrow{AS}\right|=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

---

Wiemy, że $\overrightarrow{BD}=\left[-4,2\right].$ Wtedy

$\overrightarrow{SD}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\cdot \left[-4,2\right]=\left[-2,1\right]$

Wyznaczmy długość odcinka $SD,$ która jest równa długości wektora $\overrightarrow{SD}.$ Mamy:

$\left|SD\right|=\left|\overrightarrow{SD}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

---

Wyznaczmy współrzędne wektora $\overrightarrow{AD}.$ Mamy:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SD}=\left[10,5\right]+\left[-2,1\right]=\left[10+\left(-2\right),5+1\right]=\left[8,6\right]$

Wyznaczmy długość odcinka $AD,$ która jest równa długości wektora $\overrightarrow{AD}.$ Mamy:

$\left|AD\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

---

Wyznaczmy $\cos \alpha .$ Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $ASD$ otrzymujemy:

$10^2={\left(5{\sqrt{5}}^{}\right)}^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\cdot 5\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}\cdot \cos \alpha$

$100=125+5-50\cos \alpha$

$100=130-50\cos \alpha$

$50\cos \alpha =30|:50$

$\cos \alpha =\frac{3}{5}$

---

Odp. Cosinus kąta ostrego między przekątnymi równoległoboku $ABCD$ jest równy $\frac{3}{5}.$