Dana jest funkcja $f$ określona wzorem:

$f\left(x\right)=\sqrt{\left(x-1\right)\left(x^3+4x^2-4x-16\right)}+\frac{x}{x^2-1}$

---

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji. 

1. Pamiętając o tym, że mianownik ułamka jest liczbą różną od zera mamy:

$x^2-1\ne 0$

$x^2\ne 1$

$\underline{x\ne -1\wedge x\ne 1}$

2. Wiedząc, że pierwiastkiem parzystego stopnia pierwiastkujemy tylko liczby nieujemne mamy:

$\left(x-1\right)\left(x^3+4x^2-4x-16\right)\ge 0$

$\left(x-1\right)\left(x^2\left(x+4\right)-4\left(x+4\right)\right)\ge 0$

$\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x^2-4\right)\ge 0$

$\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ge 0$

Liczby $\{-4,-2,1,2\}$ są pierwiastkami pojedynczymi wielomianu po lewej stronie tej nierówności.

Naszkicujmy przybliżony wykres tego wielomianu. Mamy:

 

Zatem zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział:

$\underline{x\in (-\infty ,-4⟩\cup ⟨-2,1⟩\cup ⟨2,\infty )}$

---

Podsumowując, otrzymaliśmy, że

$x\ne 1\wedge x\ne -1\wedge x\in (-\infty ,-4⟩\cup ⟨-2,1⟩\cup ⟨2,\infty )$

czyli dziedziną tej funkcji jest 

$D_f=(-\infty ,-4⟩\cup ⟨-2,-1)\cup \left(-1,1\right)\cup ⟨2,\infty )$

---

Odp. Dziedziną funkcji $f$ jest $D_f=(-\infty ,-4⟩\cup ⟨-2,-1)\cup \left(-1,1\right)\cup ⟨2,\infty ).$