Podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. Niech:

• $x$  -  długość dłuższej przekątnej podstawy graniastosłupa
• $y$  -  długość krótszej przekątnej podstawy graniastosłupa
• $h$  -  długość wysokości graniastosłupa
• $\alpha$  -  miara kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do podstawy

Rysunek:

---

1.

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć przystających trójkątów równobocznych, zatem:

$x=2\cdot 4=8$

Wyznaczmy długość wysokości graniastosłupa, korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

$\frac{h}{x}=\mathrm{tg}45^{\circ }$

$\frac{h}{8}=1|\cdot 8$

$h=8$

Obliczmy objętość graniastosłupa.

$V=P_p\cdot h=6\cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4}\cdot 8=6\cdot \frac{16\sqrt{3}}{4}\cdot 8=6\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8=192\sqrt{3}$

---

2.

Połowa odcinka długości $y$ jest wysokością trójkąta równobocznego o boku długości $4$, więc:

$y=2\cdot \frac{4\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$

Wyznaczmy tangens kąta między krótszą przekątną graniastosłupa a jego podstawą.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{h}{y}=\frac{8}{4\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

---

Odp. 1. C; 2. G