Dana jest funkcja kwadratową $f$ określona wzorem

$f\left(x\right)=-2x^2+bx-1,x\in \mathbb{R}$

gdzie $b$ jest pewną liczbą rzeczywistą.

---

Niech $W=\left(p,q\right)$ będzie wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji. 

Prosta o równaniu $x=3$ jest osią symetrii tej paraboli, czyli $p=3.$

Korzystając ze wzoru na pierwszą współrzędną $p$ wierzchołka paraboli mamy:

$-\frac{b}{2\cdot \left(-2\right)}=3$

$\frac{b}{4}=3|\cdot 4$

$b=12$

czyli

$f\left(x\right)=-2x^2+12x-1$

---

Wyznaczmy miejsca zerowe tej funkcji. Mamy:

$\Delta =12^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-1\right)=144-8=136\to \sqrt{\Delta }=2\sqrt{34}$

$x_1=\frac{-12-2\sqrt{34}}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{6+\sqrt{34}}{2}$

$x_2=\frac{-12+2\sqrt{34}}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{6-\sqrt{34}}{2}$

---

Odp. Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $x\in \left\{\frac{6-\sqrt{34}}{2},\frac{6+\sqrt{34}}{2}\right\}.$