Rysunek:

Długości boków trójkątów $ADC$ oraz $DBC$ oznaczyliśmy korzystając ze związku między długościami boków w trójkącie o kątach miary $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }.$

---

Z treści zadania wiemy, że obwód trójkąta $ABC$ wynosi $18+12\sqrt{3}.$ Mamy stąd równanie:

$2x\sqrt{3}+4x=18+12\sqrt{3}|:2$

$x\sqrt{3}+2x=9+6\sqrt{3}$

$x\left(\sqrt{3}+2\right)=3\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right)|:\left(\sqrt{3}+2\right)$

$x=3\sqrt{3}$

czyli mamy stąd:

• $\left|AB\right|=2x\sqrt{3}=2\cdot 3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=18$
• $\left|CD\right|=3\sqrt{3}$

---

Wyznaczmy pole tego trójkąta. Mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 3\sqrt{3}=9\cdot 3\sqrt{3}=27\sqrt{3}$

---

Odp. Pole tego trójkąta wynosi $27\sqrt{3}.$