WZÓR NA POLE RÓWNOLEGŁOBOKU Pole równoległoboku o bokach długości $a$ i $b$ oraz o kącie ostrym miary $\alpha$ wyraża się wzorem: $P=ab\sin \alpha$ TWIERDZENIE COSINUSÓW Dany jest trójkąt o bokach długości $a,b$ oraz $c.$ Niech kąt $\alpha$ będzie kątem tego trójkąta leżącym naprzeciwko boku o długości $a.$ Dla tego trójkąta zachodzi związek: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

---

Rysunek: 

Rozważmy trójkąt $BHD.$ Korzystając ze związku między długościami boków w trójkącie o kątach miary $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ mamy:

$\left|DB\right|=\frac{1}{2}\cdot 10=5$

oraz

$H=\left|DH\right|=5\sqrt{3}$

---

Rozważmy trójkąt $ABD.$ Korzystając z twierdzenia cosinusów dla tego trójkąta mamy:

$5^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2+7^2-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 7\cdot \cos \alpha$

$25=32+49-56\sqrt{2}\cos \alpha$

$25=81-56\sqrt{2}\cos \alpha$

$-56=-56\sqrt{2}\cos \alpha |:\left(-56\sqrt{2}\right)$

$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$

Odczytując miarę kąta ostrego $\alpha$ z tabeli wybranych wartości funkcji trygonometrycznych mamy:

$\alpha =45^{\circ }$

---

Wyznaczmy pole powierzchni podstawy tego graniastosłupa. Korzystając ze wzoru na pole równoległoboku mamy:

$P_p=4\sqrt{2}\cdot 7\cdot \sin 45^{\circ }=28\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=28$

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Mamy:

$P_c=2\cdot 28+2\cdot 7\cdot 5\sqrt{3}+2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{3}=56+70\sqrt{3}+40\sqrt{6}$

---

Odp. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi $56+70\sqrt{3}+40\sqrt{6}.$