DŁUGOŚĆ ODCINKA Długość odcinka $AB$ o końcach w punktach $A=\left(x_A,y_A\right)$ oraz $B=\left(x_B,y_B\right)$ wyraża się wzorem: $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$ ŚRODEK ODCINKA Dany jest odcinek $AB$ o końcach w punktach $A=\left(x_A,y_A\right)$ oraz $B=\left(x_B,y_B\right).$ Współrzędne środka $S$ tego odcinka są równe: $S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ RÓWNANIE OKRĘGU Równanie okręgu o środku $S=\left(a,b\right)$ i promieniu długości $r>0$ w postaci kanonicznej: ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$

---

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S=\left(a,b\right)$ i promieniu długości $r>0.$

Odcinek $AB$ o końcach w punktach $A=\left(-2,3\right)$ oraz $B=\left(6,-1\right)$ jest średnicą tego okręgu. 

---

Wyznaczmy środek $S$ tego okręgu, czyli współrzędne środka jego średnicy $AB.$ Korzystając ze wzoru na środek odcinka mamy:

$S=\left(\frac{-2+6}{2},\frac{3+\left(-1\right)}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{2}{2}\right)=\left(2,1\right)$

Wyznaczmy długość promienia $r$ tego okręgu, czyli długość np. odcinka $AS.$ Korzystając ze wzoru na długość odcinka mamy:

$r=\left|AS\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$

---

Zapiszmy równanie tego okręgu w postaci kanonicznej. Mamy:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2={\left(\sqrt{20}\right)}^2$

czyli

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=20$

---

Odp. C