TWIERDZENIE O DWUSIECZNEJ KĄTA Jeżeli dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta $ABC$ poprowadzona z wierzchołka $C$ przecina prostą zawierającą bok $AB$ tego trójkąta w punkcie $D,$ to: $\frac{\left|AD\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}$

---

Rysunek:

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej mamy:

$\frac{4-x}{x}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$

$2\left(4-x\right)=x\cdot 2\sqrt{3}$

$8-2x=2\sqrt{3}x$

$2\sqrt{3}x+2x=8|:2$

$\sqrt{3}x+x=4$

Wyłączając wspólny czynnik $x$ przed nawias w wyrażeniu po lewej stronie równania mamy:

$x\left(\sqrt{3}+1\right)=4|:\left(\sqrt{3}+1\right)$

$x=\frac{4}{\sqrt{3}+1}$

Usuwając niewymierność z mianownika ułamka mamy:

$x=\frac{4}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$

$x=\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}$

$x=\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$

$\underline{x=2\left(\sqrt{3}-1\right)}$

---

Wyznaczmy długości odcinków $BD$ oraz $AD.$ Mamy:

• $\left|BD\right|=2\left(\sqrt{3}-1\right)$
• $\left|AD\right|=4-2\left(\sqrt{3}-1\right)=4-2\sqrt{3}+2=6-2\sqrt{3}=2\left(3-\sqrt{3}\right)$

Dwusieczna ta podzieliła przeciwprostokątną tego trójkąta na odcinki o długościach $2\left(\sqrt{3}-1\right)$ oraz $2\left(3-\sqrt{3}\right).$

---

Odp. B