Najpierw wyznaczymy zbiór, w którym funkcja $g\left(x\right)=-x^2+8x-12$ przyjmuje wartości większe lub równe $0$. W tym celu rozwiążemy następującą nierówność:

$-x^2+8x-12⩾0$

Obliczmy wyróżnik $\Delta$ powyższego trójmianu kwadratowego i wyznaczmy jego pierwiastki.

$\Delta =8^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-12\right)=64-48=16$

$x_1=\frac{-8-\sqrt{16}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-8-4}{-2}=\frac{-12}{-2}=6$

$x_2=\frac{-8+\sqrt{16}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-8+4}{-2}=\frac{-4}{-2}=2$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $g$.

Interesują nas argumenty, dla których wartości tej funkcji są większe lub równe $0$, dlatego:

$x\in ⟨2;6⟩$

---

W tej części rozwiązania skupimy się na określeniu maksymalnych przedziałów monotoniczności funkcji $f\left(x\right)=x^2-6x+5$ w zbiorze $⟨2;6⟩$.

Współczynnik przy $x^2$(równy $1$) jest liczbą dodatnią, więc ramiona paraboli będącej wykresem funkcji $f$ skierowane są ku górze.

Wyznaczmy pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli.

$x_w=-\frac{-6}{2\cdot 1}=-\frac{-6}{2}=3\in ⟨2;6⟩$

Rysunek:

Zatem funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨2;3⟩$ i rosnąca w przedziale $⟨3^{};6⟩$.

---

Odp. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨2;3⟩$ i rosnąca w przedziale $⟨3^{};6⟩$.