Rysunek:

---

Trójkąty $EBF$ oraz $ABC$ są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku $B$, zatem są podobne (na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt). Stąd:

$\frac{\left|AC\right|}{\left|EF\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\left|BF\right|}$

Po podstawieniu mamy:

$\frac{\left|AC\right|}{8}=\frac{x+1}{x}|\cdot 8$

$\left|AC\right|=\frac{8\left(x+1\right)}{x}$

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABC$, otrzymujemy równość:

${\left|AB\right|}^2={\left|BC\right|}^2+{\left|AC\right|}^2$

Po podstawieniu mamy:

${\left|AB\right|}^2={\left(x+1\right)}^2+{\left(\frac{8\left(x+1\right)}{x}\right)}^2$

${\left|AB\right|}^2={\left(x+1\right)}^2+\frac{64{\left(x+1\right)}^2}{x^2}$

Wyrażenie znajdujące się po prawej stronie powyższej równości jest liczbą dodatnią, ponieważ $x$ opisuje długość odcinka. Możemy więc zapisać:

$\left|AB\right|=\sqrt{\left(x+1\right)+\frac{64{\left(x+1\right)}^2}{x^2}}$

Jeżeli funkcja $c$ opisuje długość przeciwprostokątnej trójkąta $ABC$ w zależności od długości odcinka $BF$, to:

$c(x)=\left(x+1\right)+\frac{64{\left(x+1\right)}^2}{x^2}$

Co należało wykazać.