Rozwiążmy równanie:

${\sin }^{2}2x=\cos 2x+1,x\in \mathbb{R}$

Zauważmy, że korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy ${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x,$ czyli

$1-{\cos }^{2}2x=\cos 2x$

${\cos }^{2}2x+\cos 2x=0$

$\cos 2x\left(\cos 2x+1\right)=0$

$\begin{array}{ccc}\cos 2x=0& \vee & \cos 2x+1=0\\ 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}& & \cos 2x=-1\\ x=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}k\pi ,k\in \mathbb{Z}& & 2x=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ & & x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

czyli zbiorem rozwiązań tego równania jest

$x\in \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$

---

Odp. $x\in \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$