WZORY VIETE'A Jeśli równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$ ma pierwiastki $x_1$ oraz $x_2,$ to: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

---

Dane jest równanie kwadratowe z niewiadomą $x$ postaci:

$x^2+mx+m-2=0$

gdzie $m$ jest parametrem.

---

Równanie to ma dwa różne pierwiastki $x_1,x_2$ wtedy, gdy 

$\Delta >0$

czyli

$m^2-4\cdot 1\cdot \left(m-2\right)>0$

$m^2-4m+8>0$

${\Delta }_m={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=16-32<0$

Funkcja kwadratowa po lewej stronie nierówności nie ma miejsc zerowych, a parabola będąca wykresem tej funkcji ma ramiona skierowane do góry, więc

$\underline{m\in \mathbb{R}}$

---

Wyznaczmy wartość wyrażenia $W$ określonego jako

$W={\left(3x_1+4x_2\right)}^2+{\left(4x_1-3x_2\right)}^2$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy mamy:

$W=9x_1^2+24x_1{x}_2+16x_2^2+16x_1^2-24x_1{x}_2+9x_2^2$

$W=25x_1^2+25x_2^2$

$W=25\left(x_1^2+x_2^2\right)$

$W=25\left[x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2\right]$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy mamy:

$W=25\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]$

$W=25{\left(x_1+x_2\right)}^2-50x_1{x}_2$

Korzystając ze wzorów Viete'a mamy:

$W=25\cdot {\left(-\frac{m}{1}\right)}^2-50\cdot \frac{m-2}{1}$

$W=25m^2-50m+100$

---

Rozważmy funkcję kwadratową określoną jako:

$W\left(m\right)=25m^2-50m+100,m\in \mathbb{R}$

Wyznaczmy wszystkie wartości parametru $m,$ dla których funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość. 

Zauważmy, że ramiona paraboli będącej wykresem funkcji $W$ skierowane są do góry. Zatem funkcja ta przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku tej paraboli. 

Wyznaczmy wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka tej paraboli. Mamy:

$m_{\min }=-\frac{-50}{2\cdot 25}=1$

Zatem dla $m=1$ funkcja ta osiąga wartość najmniejszą. 

---

Odp. Dla $m=1$ wyrażenie $W$ przyjmuje najmniejszą wartość.