Na rysunku w książce przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF.$

Niech $a>0$ będzie długością krawędzi podstawy tego graniastosłupa. 

Punkt $P$ jest środkiem krawędzi $AC$ tego graniastosłupa. 

Niech $x>0$ będzie długością odcinka $PB.$

---

Wiemy, że

$\left|PB\right|+\left|PD\right|=1$

czyli

$x+\left|PD\right|=1$

$\left|PD\right|=1-x,x\in \left(0,1\right)$

---

Odcinek $PB$ jest wysokością trójkąta równobocznego $ABC.$ Korzystając ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego mamy:

$x=\frac{a\sqrt{3}}{2}|\cdot 2$

$2x=a\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$a=\frac{2}{\sqrt{3}}x$

$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}x$

Wtedy

$\left|AP\right|=\frac{1}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}x$

---

Wyznaczmy długość wysokości $H$ tego graniastosłupa. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $APD$ otrzymujemy:

$H^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}x\right)}^2={\left(1-x\right)}^2$

$H^2+\frac{1}{3}{x}^2=1-2x+x^2$

$H^2=\frac{2}{3}{x}^2-2x+1\wedge H>0$

$H=\sqrt{\frac{2}{3}{x}^2-2x+1}$

---

Wyznaczmy wzór funkcji $V$ opisujący objętość tego graniastosłupa. Mamy:

$V\left(x\right)=\frac{{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}x\right)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}{x}^2-2x+1}=\frac{\frac{4}{3}{x}^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}{x}^2-2x+1}=$

$=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2\cdot \sqrt{\frac{2}{3}{x}^2-2x+1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{x^4\left(\frac{2}{3}{x}^2-2x+1\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}{x}^6-2x^5+x^4}$

czyli otrzymaliśmy

$V\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}{x}^6-2x^5+x^4}$