Niech punkt $A=\left(x,2x^2\right)$ dla $x\in \mathbb{R}$ będzie dowolnym punktem należącym do paraboli określonej równaniem $y=2x^2.$

Dany jest punkt $F=\left(0,\frac{1}{8}\right)$ oraz prosta $k$ określona równaniem $y=-\frac{1}{8}.$

Wykażemy, że punkt $A$ jest jednakowo odległy od punktu $F$ i od prostej $k.$

---

Wyznaczmy odległość punktu $A$ od punktu $F.$ Korzystając ze wzoru na długość odcinka mamy:

$\left|AF\right|=\sqrt{{\left(x-0\right)}^2+{\left(2x^2-\frac{1}{8}\right)}^2}=\sqrt{x^2+4x^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{64}}=\sqrt{4x^4+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{64}}=\dots$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy mamy:

$=\sqrt{{\left(2x^2+\frac{1}{8}\right)}^2}=\left|2x^2+\frac{1}{8}\right|=2x^2+\frac{1}{8}$

---

Wyznaczmy odległość punktu $A$ od prostej $k.$ Mamy:

$d\left(A,k\right)=2x^2+\left|-\frac{1}{8}\right|=2x^2+\frac{1}{8}$

---

Otrzymaliśmy, że

$\left|AF\right|=d\left(A,k\right)$

czyli odległość od każdego punktu leżącego na podanej paraboli do punktu $F$ i do prostej $k$ jest jednakowa.