Dane są liczby $x,y$ oraz $z$ określone jako:

• $x={\log }_{a\sqrt{a}}\left(a+1\right)$
• $y={\log }_{a^2+a}a$
• $z={\log }_{a^3+a^2}\sqrt{a}$

gdzie $a$ jest liczbą dodatnią.

---

Liczba $a$ spełnia warunek:

$a^2=a+1$

czyli mamy stąd:

• $a^2+a=a\left(a+1\right)=a\cdot a^2=a^3$
• $a^3+a^2=a^2\left(a+1\right)=a^2\cdot a^2=a^4$

---

Wyznaczmy wartość liczby $x.$ Wiedząc, że $a+1=a^2$ mamy:

$x={\log }_{a\sqrt{a}}\left(a+1\right)={\log }_{a^{\frac{3}{2}}}{a}^2={\log }_{a^{\frac{3}{2}}}{\left(a^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{4}{3}}=\frac{4}{3}$

Wyznaczmy wartość liczby $y.$ Wiedząc, że $a^2+a=a^3$ mamy:

$y={\log }_{a^2+a}a={\log }_{a^3}a={\log }_{a^3}{\left(a^3\right)}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$

Wyznaczmy wartość liczby $z.$ Wiedząc, że $a^3+a^2=a^4$ mamy:

$z={\log }_{a^3+a}\sqrt{a}={\log }_{a^4}{a}^{\frac{1}{2}}={\log }_{a^4}{\left(a^4\right)}^{\frac{1}{8}}=\frac{1}{8}$

---

Zauważmy, że

$z<y<x$

Wyznaczmy różnicę między największą i najmniejszą spośród tych liczb. Mamy:

$x-z=\frac{4}{3}-\frac{1}{8}=\frac{32}{24}-\frac{3}{24}=\frac{29}{24}=1\frac{5}{24}$

---

Odp. Różnica między liczbą największą i najmniejszą spośród podanych liczb wynosi $1\frac{5}{24}.$