Rozwiążmy nierówność:

${\left(\frac{1}{2}-\cos x\right)}^2\le {\sin }^2\frac{x}{2}-{\cos }^2\frac{x}{2}+\frac{3}{4}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$, mamy:

$\frac{1}{4}-\cos x+{\cos }^{2}x\le {\sin }^2\frac{x}{2}-{\cos }^2\frac{x}{2}+\frac{3}{4}$

Ze wzoru na cosinus podwojonego kąta wiemy, że ${\sin }^2\frac{x}{2}-{\cos }^2\frac{x}{2}=-\cos x$, więc

$-\cos x+{\cos }^{2}x\le -\cos x+\frac{1}{2}$

${\cos }^{2}x\le \frac{1}{2}$

Korzystając z własności $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$, mamy:

$\left|\cos x\right|\le \frac{\sqrt{2}}{2}$

czyli

$\cos x\in ⟨-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}⟩$

Naszkicujmy we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=\cos x,y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $y=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Mamy:

Na podstawie rysunku oraz okresowości funkcji $y=\cos x$ stwierdzamy, że zbiorem rozwiązań tej nierówności jest:

$x\in ⟨\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{3\pi }{4}+2k\pi ⟩,k\in \mathbb{Z}$

---

Odp. $x\in ⟨\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{3\pi }{4}+2k\pi ⟩,k\in \mathbb{Z}$