Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Czworokąt $AEOD$ jest kwadratem, więc:

$\left|AD\right|=\left|AE\right|=r$

$\left|DC\right|=a-r$

$\left|BE\right|=b-r$  

Rozważmy trójkąty prostokątne $CDO$ i $BEO$. Zauważmy, że ponieważ proste $AB$ i $OD$ są równoległe, to:

$\left|\sphericalangle DOC\right|=\left|\sphericalangle EBO\right|$  

(jako kąty odpowiadające).

Zatem na mocy cechy podobieństwa kąt-kat-kąt te trójkąty są podobne. 

Skąd dostajemy:

$\frac{a-r}{r}=\frac{r}{b-r}$  

$\left(a-r\right)\left(b-r\right)=r^2$

$ab-ar-br+r^2=r^2$

$ab=ar+br$

$ab=r\left(a+b\right)\mid :\left(a+b\right)>0$  

$\frac{ab}{a+b}=r$     

co należało wykazać.