Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym i w połowie. Przyjmijmy oznaczenia:

$\left|AK\right|=\left|KE\right|=\left|EM\right|=\left|MC\right|=x$  

Zatem zachodzi:

$\left|AE\right|=\left|EC\right|=\left|BE\right|=\left|ED\right|=2x$  

Wiemy, że:

$\left|BL\right|=\frac{1}{3}\left|BE\right|=\frac{1}{3}\cdot 2x=\frac{2}{3}x$  

$\left|DN\right|=\frac{1}{3}\left|ED\right|=\frac{1}{3}\cdot 2x=\frac{2}{3}x$  

A stąd:

$\left|LE\right|=\left|BE\right|-\left|BL\right|=2x-\frac{2}{3}x=1\frac{1}{3}x$  

$\left|NE\right|=\left|ED\right|-\left|DN\right|=2x-\frac{2}{3}x=1\frac{1}{3}x$  

Zauważmy, że czworokąt $ABCD$ jest kwadratem, w którym: 

$\left|AC\right|=\left|BD\right|=4x$  

Każdy kwadrat jest jednocześnie rombem. Obliczając pole kwadratu możemy wykorzystać wzór na pole rombu. 

$P_{ABCD}=\frac{4x\cdot 4x}{2}=\frac{16x^2}{2}=8x^2$  

Czworokąt $KLMN$ jest rombem (jego przekątne $KM$ i $LN$ są prostopadłe, bo zawierają się w przekątnych kwadratu i dzielą się na połowy). Przekątne tego rombu mają długość: 

$\left|KM\right|=2x$

$\left|LN\right|=2\cdot 1\frac{1}{3}x=2\cdot \frac{4}{3}x=\frac{8}{3}x$   

Obliczamy, ile wynosi pole tego czworokąta:

$P_{KLMN}=\frac{{\sout{2}}^{1}x\cdot \frac{8}{3}x}{{\sout{2}}_1}=x\cdot \frac{8}{3}x=\frac{8}{3}{x}^2$  

Obliczamy teraz, ile wynosi stosunek pola rombu $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$:

$\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}}=\frac{\frac{8}{3}{\cancel{x^2}}^1}{8{\cancel{x^2}}_1}=\frac{{\cancel{8}}^1}{3}\cdot \frac{1}{{\cancel{8}}_1}=\frac{1}{3}$  

Stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$ wynosi $1:3$, co należało wykazać.