Mamy:

$3x^2+4xy+5y^2\ge 0$  

Rozważmy to równanie jakby było nierównością kwadratową ze względu na zmienną $x$. Aby taka nierówność była spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x$, powinno zachodzić:

$a>0\wedge \Delta \le 0$  

Pierwszy warunek jest spełniony. Drugi warunek:

${\left(4y\right)}^2-4\cdot 3\cdot 5y^2\le 0$

$16y^2-60y^2\le 0$

$-44y^2\le 0$

$y^2\ge 0$     

Jest to spełnione dla każdej liczby rzeczywistej $y$. Zatem prawdziwa jest nierówność:

$3x^2+4xy+5y^2\ge 0$

dla każdej liczby rzeczywistej $x$ oraz $y$, co należało wykazać.