Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, a spodek jego wysokości jest punktem przecięcia przekątnych podstawy.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

---

Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa obliczymy w następujący sposób:

$P_c=P_p+P_b=P_{\square }+4\cdot P_{\Delta }=a^2+4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot 6=a^2+12a$  

Musimy znaleźć długość $a$ krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Zauważmy, że:

$a=2x$  

Wyznaczamy $x$. Trójkąt $ESF$ jest prostokątny, zatem z definicji cosinusa kąta ostrego trójkąta prostokątnego, mamy:

$\cos {30}^{\circ }=\frac{x}{6}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{6}\mid \cdot 6$

$6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=x$   

$x=3\sqrt{3}$

Czyli:

$a=2x=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

Wobec tego pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe:  

$P_c=a^2+12a={\left(6\sqrt{3}\right)}^2+12\cdot 6\sqrt{3}=6^2\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2+72\sqrt{3}=36\cdot 3+72\sqrt{3}=\underline{\underline{108+72\sqrt{3}}}$  

---

Objętość tego ostrosłupa obliczymy w następujący sposób:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H=\frac{1}{3}\cdot {\left(6\sqrt{3}\right)}^2\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 108\cdot H=36\cdot H$  

Musimy znaleźć wysokość $H$ tego ostrosłupa.

Wyznaczamy $H$. Trójkąt $ESF$ jest prostokątny, zatem z definicji sinusa kąta ostrego trójkąta prostokątnego, mamy:

$\sin {30}^{\circ }=\frac{H}{6}$  

$\frac{1}{2}=\frac{H}{6}\mid \cdot 6$

$6\cdot \frac{1}{2}=H$   

$H=3$

Wobec tego objętość tego ostrosłupa jest równa:  

$V=36\cdot H=36\cdot 3=\underline{\underline{108}}$