Niech $\alpha$ będzie kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy, $H$ wysokością ostrosłupa, $a$ krawędzią podstawy oraz punkt $O$ punktem przecięcia się przekątnych podstawy. Z treści zadania wiemy, że:

$\text{tg}\alpha =\sqrt{7}$

Stąd:

$\frac{H}{\frac{a}{2}}=\sqrt{7}$

$\sqrt{7}=\frac{2H}{a}$

$\sqrt{7}a=2H$

$H=\frac{\sqrt{7}}{2}a$

---

Wiemy, że:

$\left|AO\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $AOS$ dostajemy:  

$6^2=H^2+{\left|AO\right|}^2$

$36={\left(\frac{\sqrt{7}}{2}a\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2$

$36=\frac{7}{4}{a}^2+\frac{2a^2}{4}$

$36=\frac{9a^2}{4}\mid \cdot \frac{4}{9}$

$36\cdot \frac{4}{6}=a^2$  

$a^2=16,a>0$

$a=4$

Możemy stąd obliczyć wysokość:

$H=\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot a=\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot 4=2\sqrt{7}$

---

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 4^2\cdot 2\sqrt{7}=\frac{32\sqrt{7}}{3}$