Wprowadźmy oznaczenia. Niech jeden z boków prostokąta ma długość $3a$ a drugi $4a$. Pole podstawy ostrosłupa równe jest $192$, zatem:

$4a\cdot 3a=192$

$12a^2=192|:12$

$a^2=16|\sqrt{},a>0$

$a=4$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość przekątnej podstawy $d$:

$d^2={\left(4a\right)}^2+{\left(3a\right)}^2$

$d^2=16a^2+9a^2$

$d^2=25a^2$

$d^2=25\cdot 16|\sqrt{},d>0$

$d=5\cdot 4=20$  

Z zależności trygonometrycznych otrzymujemy:

$\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{H}{\frac{d}{2}}$  

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{10}\mid \cdot 10$

$\frac{10\sqrt{3}}{3}=H$  

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot 192\cdot H=64\cdot \frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{640\sqrt{3}}{3}$