Naszkicujmy rysunek pomocniczy i zaznaczmy kąt, którego tangens mamy policzyć:

niech trójkąt w podstawie ma bok długości $a$. Odcinek $AD$ jest wysokością trójkąta równobocznego. Przypomnijmy, że promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi jedną trzecią wysokości. Mamy zatem:

$r=\frac{1}{3}{h}_p=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Stąd:

$\frac{a\sqrt{3}}{6}=2|\cdot 6$

$a\sqrt{3}=12|\cdot \sqrt{3}$

$3a=12\sqrt{3}|:3$

$a=4\sqrt{3}$

Mamy daną objętość ostrosłupa. Zapiszmy wzór, z którego można ją obliczyć:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot |OS|=\frac{(4\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{12}\cdot |OS|=\frac{48\sqrt{3}}{12}\cdot |OS|=4\sqrt{3}|OS|$

Zatem:

$4\sqrt{3}\left|OS\right|=72|\cdot \sqrt{3}$

$12\left|OS\right|=72\sqrt{3}|:12$

$\left|OS\right|=6\sqrt{3}$

---

Rozważmy trójkąt $DOS$. Wiemy, że:

$\left|DO\right|=r=2$

Obliczmy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{|DO|}{|OS|}=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$