Treść:

W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dana jest prosta $l$ o równaniu $y=\frac{3}{2}x-\frac{15}{2}$. Prosta $k$ jest prostopadła do prostej $l$ i przechodzi przez punkt $P=\left(6,0\right)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta $k$ ma równanie

A. $y=\frac{3}{2}x+6$

B. $y=-\frac{2}{3}x+6$

C. $y=\frac{3}{2}x-9$

D. $y=-\frac{2}{3}x+4$

---

Rozwiązanie:

Proste o równaniach kierunkowych $y=a_1^{}x+b_1$ oraz $y=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe, gdy $a_1\cdot a_2=-1$.

Niech prosta $k$ ma równanie

$y=ax+b$

Korzystając z tego, że proste $k$ i $l$ są prostopadłe, otrzymujemy

$a\cdot \frac{3}{2}=-1$

$a\cdot 3=-2$

$a=-\frac{2}{3}$

Wtedy

$y=-\frac{2}{3}x+b$

Dodatkowo prosta ta przechodzi przez punkt $P=\left(6,0\right)$. Zatem możemy podstawić

$x=6,y=0$

$0=-\frac{2}{3}\cdot 6+b$

$0=-4+b$

$b=4$

Otrzymujemy, że prosta $k$ ma równanie

$y=-\frac{2}{3}x+4$

---

Odp. D