Przypomnijmy, że liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego:   $\frac{m}{n},\text{gdzie}m,n\in \mathbb{Z}\text{oraz}n\ne 0$

---

Z treści zadania wiemy, że liczba x jest postaci:

$x=a-{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2,$  

gdzie a jest pewną liczbą rzeczywistą. 

Mamy wskazać dwie poprawne odpowiedzi, dla których liczba x jest wymierna. 

Uwzględniamy fakt, że liczby $\sqrt{2},\sqrt{3}$  są niewymierne.

---

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: (a-b)²=a²-2ab+b² sprowadzamy liczbę x do postaci:

$x=a-{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2=a-\left({\left(\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2\right)=a-\left(3-2\sqrt{6}+2\right)=$  

$=a-\left(5-2\sqrt{6}\right)=a-5+2\sqrt{6}$  

---

Mamy wybrać dwie spośród siedmiu możliwych odpowiedzi. 

Sprawdzamy kolejne odpowiedzi do momentu, w którym będziemy znać dwie poprawne.

A. 

   $a=5$    

Wtedy:

$x=5-5+2\sqrt{6}=2\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}$   

---

B.   

  $a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}$    

Wtedy:

$x=-\sqrt{3}+\sqrt{2}-5+2\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}$  

---

C.   

  $a=\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right){}^2+0,3={\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+0,3=$    

$=2-2\sqrt{6}+3+0,3=5,3-2\sqrt{6}$

Wtedy:

$x=5,3-2\sqrt{6}-5+2\sqrt{6}=\underline{\underline{0,3\in \mathbb{Q}}}$  

---

D. 

   $a=6$    

Wtedy:

$x=6-5+2\sqrt{6}=1-2\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}$  

---

E.   

  $a=-2\sqrt{6}+12,5$    

Wtedy:

$x=-2\sqrt{6}+12,5-5+2\sqrt{6}=\underline{\underline{7,5\in \mathbb{Q}}}$  

---

F.   

  $a={\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}^2$    

Sprowadzamy liczbę a do najprostszej postaci. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

$a=2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+3-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}$

Wtedy:

$x=5-4\sqrt{6}-5+2\sqrt{6}=-2\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}$  

---

G. 

 $a=-\sqrt{6}$

Wtedy:

$x=-\sqrt{6}-5+2\sqrt{6}=-5+\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}$  

---

Odp. C, E