Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt...- Zadanie 8: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Rozważamy ostrosłup ABCS, którego podstawą jest trójkąt prostokątny ABC.

Kąt prosty jest przy wierzchołku C, co oznacza, że odcinek AB jest przeciwprostokątną trójkąta.

Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy 3. Przypomnijmy, że promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę długości przeciwprostokątnej, co oznacza, że

$∣ A B ∣ = 2 R = 2 \cdot 3 = 6$

W tym ostrosłupie ściany boczne ACS i BCS są prostopadłe do podstawy. To oznacza, że ich wspólna krawędź boczna - krawędź CS jest wysokością ostrosłupa.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Z treści zadania wiemy, że pole ściany bocznej ABS jest równe

$P_{△ ABS} = 122$

Z drugiej strony pole tej ściany bocznej możemy zapisać ze wzoru na pole trójkąta:

$P_{△ ABS} = \frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 3 h$

Stąd otrzymujemy równanie

$3 h = 122 ∣ : 3$

$h = 42$

Wiemy, że ściana ABS jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Kątem między ścianą ABS a płaszczyzną podstawy jest kąt między odcinkami prostopadłymi poprowadzonymi do wspólnej krawędzi obu ścian, czyli krawędzi AB. Innymi słowy, rozważanym kątem jest kąt między wysokością ściany bocznej ABS i wysokością podstawy.

Zauważmy, że w trójkącie prostokątnym CDS mamy

$∣ ∢ C D S ∣ = 60^{\circ}$

Z sumy miar kątów w tym trójkącie mamy

$∣ ∢ C S D ∣ = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$

Wobec tego trójkąt CDS ma kąty o miarach 30°, 60°, 90°. Z własności długości boków w takim trójkącie mamy:

$h = 2 \cdot ∣ C D ∣$

Stąd

$2 ∣ C D ∣ = 42 ∣ : 2$

$∣ C D ∣ = 22$

Z własności długości boków w trójkącie CDS mamy również, że

$H = ∣ C D ∣ \cdot 3 = 22 \cdot 3 = 26$

Zauważmy, że odcinek CD jest wysokością podstawy poprowadzoną na przeciwprostokątną. Ze wzoru na pole trójkąta obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ \cdot ∣ C D ∣ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 22 = 62$

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 62 \cdot 26 = 22 \cdot 26 = 412 = 4 \cdot 23 = \underline{\underline{83}}$

Wyznaczamy teraz długości przyprostokątnych podstawy.

Zauważmy, że z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC mamy

$a^{2} + b^{2} = 6^{2}$

$a^{2} + b^{2} = 36$

Pole trójkąta ABC możemy zapisać jako

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Z drugiej strony wiemy, że pole podstawy ostrosłupa jest równe 6√2. Stąd mamy równanie

$\frac{1}{2} a b = 62 ∣ \cdot 2$

$a b = 122 ∣ : a$

$b = \frac{12 2}{a}$

Otrzymujemy zatem układ równań:

${a^{2} + b^{2} = 36 b = \frac{12 2}{a}$

Wstawiamy b z drugiego równania do pierwszego równania i otrzymujemy:

$a^{2} + (\frac{12 2}{a})^{2} = 36$

$a^{2} + \frac{288}{a ^{2}} = 36 ∣ \cdot a^{2}$

$a^{4} + 288 = 36 a^{2}$

Czyli

$a^{4} - 36 a^{2} + 288 = 0$

Dokonujemy podstawienia

$t = a^{2}, t > 0$

$t^{2} - 36 t + 288 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$Δ_{t} = (- 36)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 288 = 1296 - 1152 = 144, Δ_{t} = 12$

$t_{1} = \frac{36 - 12}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$t_{2} = \frac{36 + 12}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Wracamy do pierwotnej niewiadomej:

$a^{2} = 12 \lor a^{2} = 24$

Liczba a jest dodatnia, stąd

$a = 12 \lor a = 24$

Czyli

$a_{1} = 23 \lor a_{2} = 26$

Dla każdej z wyznaczonych wartości a wyznaczamy b. Wstawiamy każdą wartość a np. do drugiego równania w układzie i otrzymujemy

$b_{1} = \frac{12 2}{2 3} = \frac{12 2 \cdot 3}{2 3 \cdot 3} = \frac{12 6}{6} = 26$

$b_{2} = \frac{12 2}{2 6} = \frac{12 2 \cdot 6}{2 6 \cdot 6} = \frac{12 12}{12} = 12 = 23$

To oznacza, że przyprostokątne trójkąta ABC mają długości:

$23 i 26$

Mamy obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa. Potrzebujemy wyznaczyć pola ścian bocznych ACS i BCS. Obie te ściany są trójkątami prostokątnymi.

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta i obliczamy sumę pól tych dwóch ścian bocznych.:

$P_{△ ACS} + P_{△ BCS} = \frac{1}{2} \cdot ∣ A C ∣ \cdot H + \frac{1}{2} \cdot ∣ B C ∣ \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 26 + \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 26 =$