Korzystając z równania okręgu możemy zapisać współrzędne jego środka oraz długość promienia.

$S=\left(3,-1\right)$

$r=\sqrt{12,8}=\sqrt{\frac{128}{10}}=\sqrt{\frac{64}{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$

Rysunek pomocniczy do zadania:

Obliczmy długość odcinka $AS$:

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(3+1\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Zatem

$\left|AC\right|=2\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$

---

Obliczmy teraz długość odcinka $AP$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ASP$:

${\left(\frac{8\sqrt{5}}{5}\right)}^2+{\left|AP\right|}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2$

$12,8+{\left|AP\right|}^2=20$

${\left|AP\right|}^2=7,2$

$\left|AP\right|=\sqrt{\frac{72}{10}}=\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

---

Przyjrzyjmy się teraz trójkątom $ASD$ oraz $ASP$.

Rysunek pomocniczy:

Trójkąt $SPA$ jest podobny do trójkąta $DSA$ (z cechy kąt-kąt-kąt), zatem

$\frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}=\frac{\left|SD\right|}{2\sqrt{5}}$

$\frac{\left|SD\right|}{2\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}:\frac{6\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\left|SD\right|}{2\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{5}{6\sqrt{5}}$

$\frac{\left|SD\right|}{2\sqrt{5}}=\frac{8}{6}$

$\left|SD\right|=\frac{4}{3}\cdot 2\sqrt{5}$

$\left|SD\right|=\frac{8\sqrt{5}}{3}$

Więc

$\left|BD\right|=2\cdot \frac{8\sqrt{5}}{3}=\frac{16\sqrt{5}}{3}$

---

Obliczmy pole rombu:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|BD\right|=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}\cdot \frac{16\sqrt{5}}{3}=2\sqrt{5}\cdot \frac{16\sqrt{5}}{3}=$

$=\frac{32\cdot 5}{3}=\frac{160}{3}=53\frac{1}{3}$

---

Odp.: Pole rombu $ABCD$ wynosi $53\frac{1}{3}$.